О минимальном коэффициенте поглощения для $n$-мерного симплекса

Пусть $n\in{\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$. Для невырожденного симплекса $S\subset{\mathbb R}^n$ через $\sigma S$ обозначим образ $S$ при гомотетии относительно центра тяжести с коэффициентом $\sigma.$ Положим $\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.$ Величину $\xi(S)$ будем называть коэффициентом поглощения куба $Q_n$ симплексом $S$. В статье приводятся новые оценки для минимального коэффициента поглощения для симплекса, содержащегося в $Q_n$, т. е. величины $\xi_n=\min \{ \xi(S): \, S\subset Q_n \}.$ Эта величина и её аналоги, в частности, имеют приложения при оценивании норм интерполяционных проекторов. Общие оценки $\xi_n$ были ранее получены в работах первого автора. Всегда $n\leq\xi_n< n+1$. Если существует матрица Адамара порядка $n+1$, то $\xi_n=n$. Лучшая из известных общих оценок сверху имеет вид $\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}$ $(n>2)$. Cуществует не зависящая от $n$ константа $c>0$, такая что для любого симплекса $S\subset Q_n$, имеющего максимальный объём, выполняются неравенства $c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)$. Это мотивиpует применение для оценивания $\xi_n$ сверху симплексов максимального объёма в $Q_n$. Для построения набора вершин такого симплекса могут применяться максимальный $0/1$-определитель порядка $n$ или максимальный $-1/1$-определитель порядка $n+1$. В работе вычисляются коэффициенты поглощения для симплексов максимального объёма, построенных с использованием специальной процедуры из известных максимальных $-1/1$-определителей. Для ряда значений $n$ c помощью этого подхода удалось понизить верхние границы $\xi_n$, полученные теоретическим путём. Приводятся лучшие известные оценки $\xi_n$ cверху для $n\leq 118$.