Изопериметрические и функциональные неравенства

Устанавливаются оценки снизу интегрального функционала
$$\int\limits_\Omega f(u(x), \nabla u(x)) \, dx ,$$
где $\Omega$ — ограниченная область в пространстве $\mathbb{R}^n \; (n \geqslant 2)$, интегрант $f(t,p) \, (t \in [0, \infty),\; p \in \mathbb{R}^n)$ — функция, $B$-измеримая по переменному $t$ и выпуклая и четная по переменному $p$, $\nabla u(x)$ — градиент (в смысле Соболева) функции $u \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. В первом и втором разделах существенную роль играют свойства перестановок дифференцируемых функций, а также изопериметрическое неравенство вида $H^{n-1}( \partial A) \geqslant \lambda(m_n A)$, связывающее $(n-1)$-мерную меру Хаусдорфа $H^{n-1}(\partial A )$ относительной границы $\partial A$ множества $A \subset \Omega$ с его $n$-мерной мерой Лебега $m_n A$. Интегрант $f$ при этом предполагается изотропным, т.е. $f(t,p) = f(t,q)$, если $|p| = |q|$. Намечены приложения установленных результатов к многомерным вариационным задачам.
Для функций $u$, обращающихся в нуль на границе области $\Omega$, предположение об изотропности $f$ можно опустить. В этом случае существенную роль начинают играть операции симметризации по Штейнеру и Шварцу интегранта $f$ и функции $u$. Соответствующие варианты оценок снизу обсуждаются в третьем пункте. Принципиально новым здесь является то, что операция симметризации применяется не только к функции $u$, но и к интегранту $f$. Геометрическую основу результатов третьего пункта составляют неравенство Брунна–Минковского, а также свойства симметризации алгебраической суммы множеств.