О некоторых задачах для симплекса и шара в ${\mathbb R}^n$

Пусть $C$ — выпуклое тело, $S$ невырожденный симплекс в ${\mathbb R}^n$. Через $\tau S$ обозначим образ $S$ при гомотетии относительно центра тяжести $S$ с коэффициентом $\tau$. Под $\xi(C;S)$ понимается минимальное $\tau>0,$ для которого $C$ является подмножеством симплекса $\tau S$. По определению, $\alpha(C;S)$ есть минимальное $\tau>0$, такое что $C$ принадлежит трансляту симплекса $\tau S$. Ранее автор доказал, что справедливы равенства $\xi(C;S)=(n+1)\max\limits_{1\leq j\leq n+1} \max\limits_{x\in C}(-\lambda_j(x))+1$ \linebreak (если $C\not\subset S$), $\alpha(C;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1} \max\limits_{x\in C} (-\lambda_j(x))+1.$ Здесь $\lambda_j$ — линейные функции, называемые базисными многочленами Лагранжа симплекса $S$. Они таковы, что числа $\lambda_j(x),\ldots, \lambda_{n+1}(x)$ являются барицентрическими координатами точки $x\in{\mathbb R}^n$. В предыдущих работах автора указанные формулы исследовались в ситуации, когда $C$ представляет собой $n$-мерный единичный куб $Q_n=[0,1]^n$. В статье рассматривается случай, когда $C$ есть единичный евклидов шар $B_n=\{x: \|x\|\leq 1\},$ где $\|x\|=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}.$ Устанавливаются различные соотношения для $\xi(B_n;S)$ и $\alpha(B_n;S)$, а также приводится их геометрическая интерпретация. Например, если $\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j},$ то $\alpha(B_n;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1}\left(\sum\limits_{i=1}^n l_{ij}^2\right)^{1/2}$. Минимальное возможное значение каждой из величин $\xi(B_n;S)$, $\alpha(B_n;S)$ для $S\subset B_n$ равно $n$ и соответствует правильному симплексу, вписанному в $B_n$. Даётся сравнение с результатами, полученными ранее для $C=Q_n$.