Линейная интерполяция на евклидовом шаре в ${\mathbb R}^n$

Пусть $x^{(0)}\in{\mathbb R}^n, R>0$. Через $B=B(x^{(0)};R)$ обозначим евклидов шар в ${\mathbb R}^n$, задаваемый неравенством $\|x-x^{(0)}\|\leq R$, $\|x\|:=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}$. Положим $B_n:=B(0,1)$. Под $C(B)$ будем понимать пространство непрерывных функций $f:B\to{\mathbb R}$ с нормой $\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|,$ под $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ — совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$, то есть линейных функций на ${\mathbb R}^n$. Пусть $x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)}$ — вершины $n$-мерного невырожденного симплекса $S\subset B$. Интерполяционный проектор $P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$, соответствующий $S$, определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)= \left(x^{(j)}\right).$ Через $\|P\|_B$ обозначим норму $P$ как оператора из $C(B)$ в $C(B)$. Определим $\theta_n(B)$ как минимальную величину $\|P\|_B$ при условии $x^{(j)}\in B$. В статье получена формула для вычисления $\|P\|_B$ через $x^{(0)}$, $R$ и коэффициенты базисных многочленов Лагранжа, соответствующих $S.$ Более подробно исследован случай, когда $S$ — правильный симплекс, вписанный в $B_n$. Доказано, что в этой ситуации справедливо равенство $\|P\|_{B_n}=\max\{\psi(a),\psi(a+1)\},$ где $\psi(t)=\frac{2\sqrt{n}}{n+1}\bigl(t(n+1-t)\bigr)^{1/2}+ \bigl|1-\frac{2t}{n+1}\bigr|$ $(0\leq t\leq n+1)$, целое $a$ имеет вид $a=\bigl\lfloor\frac{n+1}{2}-\frac{\sqrt{n+1}}{2}\bigr\rfloor.$ Для такого проектора $\sqrt{n}\leq\|P\|_{B_n}\leq\sqrt{n+1}$, причём равенство $\|P\|_{B_n}=\sqrt{n+1}$ имеет место тогда и только тогда, когда число $\sqrt{n+1}$ является целым. Приводятся точные значения $\theta_n(B_n)$ для $1\leq n\leq 4$. Даются результаты компьютерных вычислений, дополняющие теоретический анализ. Обсуждаются некоторые другие вопросы, связанные с интерполяцией на евклидовом шаре, в том числе открытые.