О стационарных решениях уравнения с запаздывающими аргументами: модель локальной трансляции в синапсе

Представлены результаты аналитического анализа стационарных решений дифференциального уравнения с двумя запаздывающими аргументами, используемого для моделирования молекулярно-генетических систем, в которых запаздывание присутствует как их естественная составляющая. Анализ проведен на модели локальной трансляции в активированном синапсе. Описаны условия существования неотрицательных стационаров и разработана теория их устойчивости в зависимости от значений запаздывающих аргументов, которая позволяет полностью охарактеризовать эти стационары для всего спектра значений параметров модели. Теория гарантирует неустойчивость положительного стационара для любых значений запаздывающих аргументов $\tau_2\ge\tau_1\ge0$, если он является неустойчивым при нулевых значениях $\tau_1$ и $\tau_2$ (безусловная неустойчивость). Если положительный стационар является устойчивым только при нулевых значениях запаздывающих аргументов, то для реальных молекулярно-генетических систем эта область также является областью безусловной неустойчивости. Для положительных стационаров, которые устойчивы при $\tau_1=\tau_2=0$, определены области безусловной устойчивости, когда стационары сохраняют устойчивость при любых значениях $\tau$, и относительной неустойчивости, когда они ее теряют при некоторых значениях $\tau$. Показано, что с увеличением эффективности трансляции, сложности и нелинейности механизмов ее регуляции, области безусловной и относительной устойчивости положительного стационара модели уменьшаются, а области безусловной неустойчивости стационара увеличиваются. Т.е., повышенная активность системы локальной трансляции может быть фактором ее нестабильности и риска нейропсихических заболеваний, связанных с нарушением пластичности синапса и памяти, для которых постулируется важность стабильного протеома в синапсе.