Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных краевых задач на локально переизмельчаемых сетках. Уравнения реакции-диффузии

На отрезке рассматривается задача Дирихле для параболического уравнения типа реакции-диффузии. Старшая производная уравнения содержит параметр $\varepsilon$, принимающий произвольные значения из полуинтервала (0,1]. Для краевой задачи исследуются классические разностные аппроксимации на последовательно локально переизмельчаемых (априорно, либо апостериорно) сетках. В разностных схемах уточнение сеточных решений проводится лишь на подобластях, подвергающихся переизмельчению (их границы проходят через сеточные узлы); на подобластях адаптации используются равномерные сетки. Показано, что в классе таких разностных схем не существует схем, сходящихся равномерно по параметру $\varepsilon$ (или$\varepsilon$-равномерно). Строятся специальные схемы, позволяющие получать приближения, сходящиеся "почти $\varepsilon$-равномерно" – с ошибкой, слабо зависящей от $\varepsilon$: $|u(x,t)-z(x,t)\leq M[\varepsilon^{-2\nu}N_1^{-2+2\mu}+n_0^{-1}]$, $(x,t)\in\overline G_h$ , где $\nu$, $\mu$ – произвольные числа из (0,1]; $N_1+1$ и $N_0+1$ – число узлов сетки по $x$ и $t$, $M=M(\nu,\mu)$.