О сходимости компактных разностных схем

Разностные схемы, компактные по пространственным переменным, т.е. построенные для каждого пространственного направления на двух- или трехточечном шаблоне, выделяются вычислительной экономичностью и удобством постановки граничных условий среди других схем высокого порядка точности. Первоначально эти схемы в основном разрабатывались для нахождения достаточно гладких решений. В последние два десятилетия компактные схемы активно развиваются и используются для расчета газодинамических течений с ударными волнами. Однако для получения численного решения с гарантированной точностью требуется знать реальные свойства разностных схем при расчете решений с особенностями (разрывами). Этот вопрос для ряда широко используемых компактных схем в настоящее время недостаточно изучен. В данной работе исследуются свойства компактных схем, построенных методом прямых. В качестве модельной задачи, на которой анализируются свойства схем, взята начально-краевая задача для линейного уравнения теплопроводности с разрывными начальными данными. В методе прямых пространственная производная в уравнении теплопроводности аппроксимирована на двухточечном шаблоне по формуле компактного дифференцирования четвертого порядка точности. Для решения получающейся при этом эволюционной системы ОДУ рассмотрены различные неявные одношаговые двух- и трехстадийные схемы второго и третьего порядка точности. Проанализирована связь между свойствами функций устойчивости схем и пространственной монотонностью численного решения. Показано преимущество компактных схем по сравнению с традиционными схемами, использующими трехточечную аппроксимацию пространственной производной со вторым порядком точности, при расчете на больших отрезках времени.