Оценки решений одного уравнения переменного типа

Для уравнения
$$ u_t=a''(u_x)u_{xx}, $$
где функция $a''(\xi)\geqslant\delta>0$ при $|\xi|\geqslant N$ и может менять знак в конечной области изменения $\xi$, получены более сильные, чем были известны ранее, априорные оценки решения. Получение таких оценок для приближенных решений позволило бы доказать теорему существования решения смешанной задачи.