Вычисление функций Ферми–Дирака экспоненциально сходящимися квадратурами

Для прямого вычисления функций Ферми-Дирака полуцелого индекса построены специализированные квадратурные формулы высокой точности. Показано, что зависимость погрешности от числа узлов является не степенной, а экспоненциальной. Исследованы свойства таких формул. Показано, что показатель экспоненты сходимости определяется расстоянием до ближайшего полюса подынтегрального выражения. Это обеспечивает очень быструю сходимость квадратур. Построены несложные аппроксимации функций Ферми–Дирака целых и полуцелых индексов, имеющие точность лучше 1%; они удобны для физических оценок. Попутно найдены асимптотические представления для чисел Бернулли.