Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с движущимся сосредоточенным источником

На прямой рассматривается начальная задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения типа реакции-диффузии при наличии движущегося сосредоточенного источника. Классические разностные схемы для такой задачи сходятся лишь при условии $\varepsilon\gg N^{-1}+N_0^{-1}$ где $\varepsilon$ – возмущающий параметр, величины $N$ и $N_0$ определяют число узлов сетки по $x$ (на отрезке единичной длины) и $t$. Исследуются схемы на сетках, локально сгущающихся в окрестности множества $\gamma^*$ – траектории движущегося источника. Показано, что в классе разностных схем на основе классических аппроксимаций задачи на “кусочно-равномерных” прямоугольных сетках, сгущающихся по $x$ и $t$, не существует схем, сходящихся $\varepsilon$-равномерно и, в частности, при условии $\varepsilon=\mathscr O(N^{-2}+N_0^{-2})$. С использованием в ближайшей окрестности множества $\gamma^*$ шаблонов разностной схемы с неортогональными по $x$ и $t$ плечами и сеток, сгущающихся по $x$ в окрестности множества $\gamma^*$, строятся схемы, сходящиеся $\varepsilon$-равномерно со скоростью $\mathscr O(N^{-k}\ln^kM+N_0^{-1})$, $k=1,2$.