Аналитическое интегрирование функций влияния для решения задач упругости и теории потенциала методом граничных элементов

Практические задачи математической физики (упругости, пластичности, диффузии, теплопроводности и т.п.) требуют как высокой точности решения, так и значительной скорости вычислений, зачастую – в режиме реального времени. В работе представлены развитые параллельные алгоритмы решения таких задач методом, обеспечивающим получение решения со скоростью, многократно превосходящей скорость численных конечноэлементных расчетов эквивалентной размерности, причем точность расчетов не ухудшается. Метод расчета основан на методе граничных элементов. Искомые функции (скорость, напряжение, концентрация, температура, поток и т.п.) представляются внутри исследуемого тела аналитически через значения на границе. Граница разбивается на элементы (для двумерных задач – отрезки прямых или дуги окружностей). Значения на граничных элементах, не заданные граничными условиями, находятся из системы линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой суть интегралы по граничным элементам от функций влияния и их производных. Получены достаточно простые аналитические формулы для вычисления всех необходимых интегралов по элементам упомянутых выше типов. Найденные формулы могут быть использованы при решении задач для плоской деформируемой области любой конфигурации и с любыми упругими (диффузионными, тепловыми) свойствами. Вычисление интегралов по выведенным формулам позволяет повысить по сравнению с численным интегрированием точность расчетов и существенно ускорить процесс заполнения матрицы системы. Алгоритмы заполнения матрицы системы и последующего ее решения легко распараллеливаются, что наряду с преимуществами аналитического интегрирования над численным дает существенное ускорение процесса. Полученные значения на границе и аналитические формулы интегрирования позволяют аналитически определить характеристики исследуемого процесса внутри области. При этом, с высокой точностью определяются даже величины, вычисление которых требует операции дифференцирования (напряжение, поток), чего невозможно добиться классическими методами вычислений.