Tangential version of Hilbert 16th problem for the Abel equation

Две классические проблемы о полиномиальных векторных полях – 16 проблема Гильберта о максимальном числе предельных циклов в таких системах и проблема Пуанкаре о центре и фокусе, т.е. об условиях замкнутости всех траекторий системы вокруг её критической точки – могут быть естественно переформулированы для дифференциального уравнения Абеля $y'=p(x)y^2+q(x)y^3$. В последнее время были обнаружены связи между условиями центра для уравнения Абеля и композиционным разложением $P=\int p$ и $Q=\int q$, с одной стороны, и условиями зануления моментов $m_{i,j} =\int P^i Q^j q$, с другой.
На основе этих результатов мы начинаем в настоящей статье изучение “касательной проблемы Гильберта” для уравнения Абеля: ограничить число нулей функции $I(t)=\int^b_a(q(x)dx)/(1-tP(x))$.