Parametrizing unstable and very unstable manifolds

Теоремы о существовании и единственности неустойчивых многообразий хорошо известны. В настоящей статье мы докажем некоторые более точные утверждения. Пусть $f\colon(\mathbb C^n,0)\to\mathbb C^n$ – росток аналитического диффеоморфизма, производная $Df(0)$ которого имеет собственные значения $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, такие что
$$ |\lambda_1|\ge\dots\ge|\lambda_k|>|\lambda_{k+1}|\ge\dots\ge|\lambda_n|, $$
причём $|\lambda_k|>1$.
Доказывается, что существует единственное $k$-мерное инвариантное многообразие, у которого касательное пространство в нуле порождено обобщёнными собственными векторами, отвечающими первым $k$ собственным значениям. Это многообразие аналитически зависит от $f$. Кроме того, имеется естественная параметризация этого “сильно неустойчивого многообразия”, продолжающаяся до голоморфного отображения $\mathbb C^k\to\mathbb C^n$ (в случае, когда $f$ определено на всём пространстве $\mathbb C^n$) и являющаяся погружением в случае, когда $f$ – глобальный диффеоморфизм.
Доказываются похожие утверждения для устойчивых многообразий. Локальные версии последних утверждений аналогичны предыдущим. С другой стороны, их глобальные версии сильно отличаются от предыдущих глобальных утверждений для неустойчивых многообразий.