The limit shape and fluctuations of random partitions of naturals with fixed number of summands

Мы рассматриваем равномерное распределение на множестве разбиений целого числа $n$ на $c\sqrt n$ слагаемых и вычисляем предельную форму таких разбиений, в предположении, что $c$ константа, а $n$ стремится к бесконечности. При $c\to\infty$ предельная форма стремится к известной предельной форме для неограниченного числа слагаемых (см. ссылки). При скорости роста менее $\sqrt n$, получается универсальная предельная форма ($e^{-t}$). Мы доказываем принцип инвариантности (центральную предельную теорему для флуктуаций вокруг предельной формы) и находим точное выражение для функций корреляции. Результаты можно проинтерпретировать на языке статистичеcкой физики идеального газа, с этой точки зрения предельная форма есть предельное распределение энергии двумерного идеального газа по отношению к энергии частиц. Доказательство предельной теоремы использует обратное преобразование Фурье характеристической функции и уточняет методы предыдущей работы авторов.