Adelic approach to the zeta function of arithmetic schemes in dimension two

Дзета- и $L$-функции двумерных арифметических схем являются одним из основных объектов изучения в современной теории чисел. В случае эллиптических кривых над глобальными полями и их регулярных моделей соответствующие дзета- и $L$-функции традиционно изучаются с использованием $p$-адических методов, в общем случае некоммутативных. Данная статья является обзором нового подхода, выработанного в 2001–2006 годах, к изучению фундаментальных свойств дзета-функций арифметических поверхностей. Эта комплекснозначная коммутативная теория является двумерным обобщением и расширением классического адельного анализа Тэйта и Ивасавы, в котором были определены адельные дзета-интегралы, а мероморфное продолжение и функциональное уравнение дзета-интегралов было выведено из аналитической дуальности, т. е. свойств преобразования Фурье на адельном пространстве и его подпространствах. В размерности два соответствующие локальные объекты очень большие (например, формальные петлевые пространства над локально компактным полем), и, в частности, они не являются локально компактными группами. Используя структуры, приходящие из явной двумерной теории полей классов, и работая с новой $\mathbb R((X))$-значной мерой, инвариантной относительно сдвигов, на полных объектах, ассоциированных с арифметическими поверхностями, можно определить и исследовать новый дзета-интеграл, который является пополненной версией дзета-функции регулярной модели эллиптической кривой над глобальным полем. Двумерная версия адельного анализа позволяет свести изучение полюсов дзета-функции к изучению полюсов граничного выражения, которое является интегралом определенной арифметической функции по границе адельного подпространства. Структура границы и функции определяет свойства граничного выражения и местонахождение полюсов, что приводит к приложениям этой теории к нескольким ключевым направлениям в арифметике эллиптических кривых.