Mixed volume and an extension of intersection theory of divisors

Пусть $\mathbf K_\mathrm{rat}(X)$ – множество всех ненулевых конечномерных пространств рациональных функций на $n$-мерном неприводимом алгебраическом многообразии $X$. Для каждого набора пространств $L_1,\dots,L_n\in\mathbf K_\mathrm{rat}(X)$ определяем индекс пересечения $[L_1,\dots,L_n]$ как количество решений системы уравнений $f_1=\dots=f_n=0$, где $f_i$ – общая функция из пространства $L_i$. При подсчете числа решений мы не учитываем решений, в которых обращаются в нуль все функции одного из пространств $L_i$, и не учитываем решений, в которых одна из функций одного из пространств $L_i$ имеет полюс. Множество $\mathbf K_\mathrm{rat}(X)$ является полугруппой по отношению к произведению пространств функций. Индекс пересечения $[L_1,\dots,L_n]$ полилинеен относительно этого умножения. Поэтому индекс пересечения переносится на группу Гротендика полугруппы $\mathbf K_\mathrm{rat}(X)$. Мы получаем обобщение теории пересечений дивизоров. Это обобщение применимо даже для неполных алгебраических многообразий $X$. Мы показываем, что индекс пересечения удовлетворяет всем основным свойствам смешанных объемов выпуклых тел. Результаты статьи возникли при попытках обобщения теоремы Бернштейна–Кушниренко из теории многогранников Ньютона.