Singular perturbation of polynomial potentials with applications to $PT$-symmetric families

Рассматривается спектральная задача для оператора Шрёдингера $w''+Pw=\lambda w$ с комплексным полиномиальным потенциалом $P(z)=tz^d+\ldots$, зависящим от параметра $t$, с нулевыми граничными условиями на бесконечности, заданными на двух лучах в комплексной плоскости. В первой части статьи получены достаточные условия непрерывности спектра при $t=0$. Во второй части эти результаты применяются к изучению вещественного спектра и расположения нулей собственных функций $PT$-симметрических семейств с потенциалами степеней 3 и 4.