Handsaw quiver varieties and finite $W$-algebras

Следуя А. Браверману, М. Финкельбергу, Б. Фейгину и Л. Рыбникову (arXiv:1008.3655), мы изучаем сверточную алгебру пилообразного колчанного многообразия (оно же параболическое пространство Ломона) и конечную $W$-алгебру типа $A$. Это конечный аналог AGT-гипотезы для четырехмерной суперсимметричной теории Янга—Миллса с поверхностными операторами. Наше новое наблюдение состоит в том, что на пилооборазном колчанном многообразии множество точек, неподвижных относительно действия $\mathbb C^*$, изоморфно градуированному колчанному многообразию типа $A$, введенному автором в связи с теорией представлений квантовой аффинной алгебры. В качестве приложения мы описываем простые модули над $W$-алгеброй в терминах $IC$-пучков градуированных колчанных многообразий типа $A$, про которые было известно, что они связаны с многочленами Каждана–Люстига. Отсюда получается новое доказательство гипотезы Брундана—Клещева о композиционных кратностях для модулей Верма; эта гипотеза была доказана другим методом И. Лосевым, в более широком контексте.