Angular momentum and Horn's problem

Мы доказываем следующую гипотезу, высказанную первым из авторов. Пусть $X_0$ – центральная конфигурация $n$ тел в евклидовом пространстве $E$ размерности $2p$, и пусть $\mathrm{Im}\mathcal F$ – множество таких убыващих последовательностей из $p$ действительных чисел $(\nu_1,\nu_2,\cdots,\nu_p)$, что $\{\pm i\nu_1,\pm i\nu_2,\cdots,\pm i\nu_p\}$ – спектр углового момента для некоторого периодического движения в относительном равновесии. Тогда множество $\mathrm{Im}\mathcal F$ является выпуклым многогранником. Доказательство основывается на том, что это множество заключается между выпуклыми многогранниками $\mathcal P_1$ и $\mathcal P_2$, а затем показывается, что эти многогранники совпадают.
Многогранник $\mathcal P_1$, введенный ранее в работе первого автора, есть множество спектров, соответствующих эрмитовым структурам $J$ на $E$, “адаптированным” к симметриям матрицы инерции $S_0$; он отвечает задаче Хорна для суммы вещественных симметрических $p\times p$-матриц со спектрами $\sigma_-$ и $\sigma_+$, объединение которых есть спектр $S_0$. Многогранник $\mathcal P_2$ есть ортогональная проекция на множество “эрмитовых спектров” многогранника $\mathcal P$, отвечающего запдаче Хорна для суммы вещественных симметрических $2p\times2p$-матриц, каждая из которых имеет тот же спектр, что $S_0$.
Равенство $\mathcal P_1=\mathcal P_2$ напрямую следует из глубокой комбинаторной леммы Фомина, Фултона, Ли и Поона, хараетеризующей суммы двух вещественных симметрических $2p\times2p$-матриц с одинаковым спектром, являющиеся эрмитовыми относительно некоторой эрмитовой структуры.