Signatures of branched coverings and solvability in quadratures

Сигнатура разветвленного накрытия над сферой Римана – это множество его точек ветвления вместе с порядками операторов монодромии в этих точках. Что можно сказать о группе монодромии, если известна сигнатура накрытия? С первого взгляда кажется, что ничего или почти ничего. Оказалось однако, что сигнатура эллиптического типа полностью определяет эту группу, а сигнатура параболического типа определяет ее с точностью до коммутативного нормального делителя. Также оказалось, что для всех негиперболических сигнатур (кроме одной исключительной) эта группа является разрешимой.
Алгебраическая функция с любой негиперболической сигнату рой (кроме исключительной) представима в радикалах. Пример такого явления – обратимость в радикалах полиномов Чебышева. Более интересный пример доставляют алгебраические функции, связанные с делением аргумента эллиптических функций. (Наша статья возникла при обдумывании работы Ритта, в которой, в частности, был найден этот пример.) Линейные дифференциальные уравнения типа Фукса с негиперболическими сигнатурами решаются в квадратурах (а с эллиптическими сигнатурами решаются в алгебраических функциях). Общеизвестный пример такого рода доставляют уравнения Эйлера, которые сводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.