Physical measures for nonlinear random walks on interval

Ограниченное одномерное нелинейное случайное блуждание это набор из $N$ диффеоморфизмов единичного отрезка, которые применяются в зависимости от текущего состояния некоторой вероятностной марковской цепи. Мы показываем, что эргодические стационарные меры типичных случайных блужданий такого типа допускают простое геометрическое описание, а также имеют отрицательные показатели Ляпунова.
Эти же меры оказываются физическими мерами для некоторого класса динамических систем – ступенчатых косых произведений со слоем отрезок над транзитивными топологическими марковскими цепями.
Мы доказываем, что такие косые произведения имеют лишь конечное число чередующихся аттракторов и репеллеров; мы также даём точную оценку их числа. Каждый аттрактор и репеллер есть график непрерывного отображения из базы в слой, определённого почти всюду относительно любой эргодической марковской меры в базе. Орбиты с начальным условием между аттрактором и репеллером стремятся к аттрактору при $t\to+\infty$ и к репеллеру при $t\to-\infty$. Каждый аттрактор является носителем эргодической гиперболической физической меры.