Eigenfunctions for $2$-dimensional tori and for rectangles with Neumann boundary conditions

Рассмотрим собственные функции задачи $-\Delta u=\lambda u$ для двумерного тора (соответственно, для свободной прямоугольной мембраны $\mathcal R(c,d)=(0,c)\times(0,d)$) с периодическими (соответственно, неймановскими) граничными условиями. В этой заметке мы показываем, что если $u>0$ на $\partial\mathcal R(c,d)$, то $u\equiv C>0$ в $\mathcal R(c,d)$.