Эта публикация цитируется в
7 статьях
Toric topology of the complex Grassmann manifolds
[Торическая топология комплексных многообразий Грассмана]
V. M. Bukhshtaberabc,
S. Terzićd a Skolkovo Institute of Science and Technology, Moscow, Russia
b Moscow State University M.V.Lomonosov, Moscow, Russia
c Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
d Faculty of Science and Mathematics, University of Montenegro, Podgorica, Montenegro
Аннотация:
Семейство комплексных многообразий Грассмана
$G_{n,k}$ с каноническим действием компактного тора
$T^n=\mathbb{T}^{n}$ и аналог отображения моментов
$\mu \colon G_{n,k}\to \Delta _{n,k}$ для гиперсимплекса
$\Delta _{n,k}$ хорошо известны. В этой статье мы изучаем структуру пространства орбит
$G_{n,k}/T^n$, развивая методы торической геометрии и торической топологии. Мы используем разбиение многобразия
$G_{n,k}$ на страты
$W_{\sigma}$. Опираясь на это разбиение, мы находим все регулярные и особые точки отображения моментов
$\mu$ и вводим понятия допустимых многогранников
$P_\sigma$ таких, что
$\mu (W_{\sigma}) \to \mathring P_{\sigma}$, и пространств параметров
$F_{\sigma}$, которые вместе описывают пространство
$W_{\sigma}/T^{n}$ как произведение
$\mathring P_{\sigma} \times F_{\sigma}$. Для того, чтобы найти подходящую топологию пространства $\bigcup _{\sigma} (\mathring P_{\sigma}\times F_{\sigma})$, мы вводим также универсальное пространство параметров
$\widetilde{\mathcal{F}}$ и виртуальные пространства параметров $\widetilde{F}_{\sigma}\subset \widetilde{\mathcal{F}}$ такие, что существуют проекции
$\widetilde{F}_{\sigma}\to F_{\sigma}$. В терминах этих понятий мы предлагаем метод описания пространства орбит
$G_{n,k}/T^n$. Существование действия симметрической группы
$S_{n}$ на
$G_{n,k}$ позволило упростить подход к реализации этого метода. В нашей предыдущей статье мы доказали, что пространство орбит
$G_{4,2}/T^4$, которое определяется эффективным
$T^3$-действием сложности
$1$, гомеоморфно пространству
$\partial \Delta _{4,2}\ast \mathbb{C}P^1$. В этой статье мы получаем явное описание пространства орбит
$G_{5,2}/T^5$, которое определяется эффективным
$T^4$-действием сложности
$2$, и доказываем, что оно гомотопически эквивалентно прострранству, получаемому приклеиванием диска
$D^8$ к пространству
$\Sigma ^{4}\mathbb{R} P^2$ по образующей группы $\pi _{7}(\Sigma ^{4}\mathbb{R} P^2)=\mathbb{Z} _{4}$. В частности,
$(G_{5,2}/G_{4,2})/T^5$ гомотопически эквивалентно
$\partial \Delta _{5,2}\ast \mathbb{C} P^2$. Методы и результаты этой статьи являются ключевыми для построения предложенной нами теории
$(2l,q)$-многообразий
$M^{2l}$ с эффективным действием тора
$T^{q}$,
$q\leq l$, и аналогом отображения моментов
$\mu \colon M^{2l}\to P^{q}$, где
$P^{q}$ —
$q$-мерный выпуклый многогранник.
Ключевые слова и фразы:
Grassmann manifold, Thom spaces, torus action, orbit spaces, spaces of parameters.
MSC: 57S25,
57N65,
53D20,
14M25,
52B11,
14B05.
Язык публикации: английский
DOI:
10.17323/1609-4514-2019-19-3-397-463