Serre's theorem and measures corresponding to abelian varieties over finite fields

Мы изучаем меры, соответствующие семействам абелевых многообразий над конечным полем. Эти меры играют важную роль в теории Цфасмана–Влэдуца асимптотических дзета-функций, поскольку они полностью определяют предельную дзета-функцию семейства. Много лет назад Ж.-П. Серр применил красивое теоретико-числовое соображение и доказал теорему, ограничивающую множество мер, которые могут возникать из семейств абелевых многообразий. Много лет этот результат оставался неопубликованным. Мы формулируем и доказываем эту теорему. Затем мы показываем, что для семейств якобианов кривых другие методы лучше характеризуют множество соответствующих мер, по крайней мере когда мощность основного поля является четной степенью простого. Однако мы все еще очень далеки от полного описания множества мер, соответствующих семействам абелевых многообразий. В добавлении, написанном Юлией Котельниковой, она доказывает, что в случае положительных асимптотически точных семейств систем Вейля (в частности, в случае асимптотически точных семейств кривых) теорема Серра верна не только для многочленов $H(z) \in {\mathbb Z} [z]$, но и для всякого многочлена $H(z) \in {\mathbb C} [z]$, для которого модуль старшего члена больше или равен единице.