Matrix polar decomposition and generalisations of the Blaschke–Petkantschin formula in integral geometry

С. Р. Могхадаси (Bull. Austr. Math. Soc. 85 (2012), 315–234) показал, что разложение $N$-кратного произведения мер Лебега на $\mathbb R^n$, вытекающее из матричного полярного разложения, можно использовать для вывода формулы Бляшке–Пеканчина в интегральной геометрии. Пользуясь известными формулами из теории случайных матриц, мы приводим упрощенный вывод разложения произведения мер Лебега, получающегося из полярного разложения; наше доказательство работает также для случая матриц с комплексными или кватернионными коэффициентами, и мы приводим соответствующие обобщения формулы Бляшке–Пеканчина. Приведены различные приложения к теории случайных матриц и интегральной геометрии, включая нахождение моментов объема выпуклой оболочки $k \le N+1$ точек в $\mathbb R^N$, $\mathbb C^N$ или $\mathbb H^N$, с гауссовым или равномерным распределением.