Mass transportation functionals on the sphere with applications to the logarithmic Minkowski problem

В работе изучается транспортная задача на единичной сфере $S^{n-1}$ для симметричных вероятностных мер и функции стоимости $c(x,y) = \log \frac{1}{\langle x, y \rangle}$. Мы вычисляем вариацию соответствующего функционала Канторовича $K$ и изучаем ассоциированное метрическое пространство с мерой: $S^{n-1}$ наделяется римановой метрикой, порожденной соответствующим транспортным потенциалом. В работе вводится новый транспортный функционал, точки минимума которого являются решениями симметричной логарифмической проблемы Минковского, и доказывается, что $K$ удовлетворяет следующему аналогу гауссовского транспортного неравенства для равномерной вероятностной меры ${\sigma}$ на $S^{n-1}$: $\frac{1}{n} \operatorname{Ent}(\nu) \ge K({\sigma}, \nu)$. В работе показано, что существует интересная аналогия между этими результатами и теорией уравнения Кэлера–Эйнштейна в евклидовом пространстве. В качестве дополнительного наблюдения получено новое доказательство единственности решения логарифмической проблемы Минковского для равномерной меры.