Modular vector fields attached to Dwork family: $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ Lie algebra

Цель этой статьи — показать, что на некотором пространстве модулей $\mathsf{T}$, возникающее из так называемого семейства Дворка $n$-мерных многообразий Калаби–Яу, существует алгебра Ли векторных полей, содержащая подалгебру, изоморфную $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Для этой цели мы вводим алгебраическую группу $\mathsf{G}$, действующую справа на $\mathsf{T}$, и описываем ее алгебру Ли $\mathrm{Lie}(\mathsf{G})$. Мы замечаем, что $\mathrm{Lie}(\mathsf{G})$ изоморфна подалгебре Ли в алгебре векторных полей на $\mathsf{T}$; оказывается, что $\mathrm{Lie}(\mathsf{G})$ и модулярное векторное поле $\mathsf{R}$ порождают алгебру Ли $\mathfrak{G}$, называемую алгеброй AMSY и имеющую ту же размерность, что и $\mathsf{T}$. В алгебре AMSY мы находим подалгебру Ли, изоморфную $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ и содержащую $\mathsf{R}$. Доказательства основаны на алгебраическом методе, называемом «замаскированная связность Гаусса–Манина». Для случаев $n=1, 2, 3, 4$ приведены некоторые явные примеры.