Elements of the $q$-Askey scheme in the algebra of symmetric functions

Классические $q$-гипергеометрические ортогональные полиномы образуют иерархию, называемую схемой $q$-Аски. На вершине иерархии находятся два тесно связанных друг с другом семейства полиномов, Аски–Вильсона и $q$-Рака. Как хорошо известно, их конструкция допускает обобщение, приводящее к замечательным ортогональным симметрическим полиномам от нескольких переменных.
Мы строим аналог многомерных полиномов $q$-Рака в алгебре симметрических функций. Далее, мы показываем, что наши симметрические функции $q$-Рака допускают вырождение в большие симметрические функции $q$-Якоби, введенные в недавней работе второго автора. Для последних имеется дальнейшее вырождение, приводящее к новым симметрическим функциям  — аналогам полиномов $q$-Майкснера и Аль-Салама – Карлица.
Каждое из четырех семейств симметрических функций ($q$-Рака, больших $q$-Якоби, $q$-Майкснера и Аль-Салама – Карлица) образует ортогональную систему функций по отношению к некоторой мере, определенной на некотором пространстве бесконечных точечных конфигураций. Эти меры ортогональности четырех семейств представляют независимый интерес. Мы показываем, что они связаны друг с другом предельными переходами, которые согласованы с вырождениями соответствующих симметрических функций.