On Ennola's conjecture on non-Galois cubic number fields with exceptional units

Пусть $\varepsilon$  — вполне вещественная специальная кубическая единица («специальная» означает, что $\varepsilon-1$  — тоже единица), порождающая ненормальное расширение над $\mathbb Q$. Тогда $\varepsilon$ и $\varepsilon-1$ мультипликативно независимы, а индекс в группе единиц (для максимального порядка в ${\mathbb Q}(\varepsilon)$) у подгруппы, порожденной $-1$, $\varepsilon$ и $\varepsilon-1$, конечен (этот индекс обозначается $j_\varepsilon$). Известно, что $\{\varepsilon,\varepsilon-1\}$  — система фундаментальных единиц для кубического порядка ${\mathbb Z}[\varepsilon]$. В. Эннола высказал гипотезу, что $\{\varepsilon,\varepsilon-1\}$  — система фундаментальных единиц и для максимального порядка в ${\mathbb Q}(\varepsilon)$, т. е. что $j_\varepsilon$ всегда равно единице. Зафиксируем алгебраическое замыкание поля $\mathbb Q$. Мы доказываем, что для всякого простого $p$ имеется лишь конечное число случаев, в которых $j_\varepsilon$ делится на $p$. Мы объясняем, почему этот результат является сильным свидетельством в пользу гипотезы Эннолы: возможных контрпримеров мало, и они расположены далеко друг от друга. Наше доказательство является условным: оно основывается на гипотезе, согласно которой степени некоторых явных рациональных функций, являющихся многочленами Лорана, всегда отрицательны (мы приводим для этих степеней гипотетические явные формулы). Эти степени легко находятся с помощью любой компьютерной программы для алгебраических вычислений; из проведенных нами вычислений явствует, что для всякого простого $p\leq 1875$ имеется лишь конечное количество случаев, в которых $j_\varepsilon$ делится на $p$. Мы также доказываем, что из гипотезы ABC вытекает, что количество контрпримеров к гипотезе Эннолы не более чем конечно.