О факторизации псевдодифференциальных операторов

В работе рассматривается задача о разложении псевдодифференциального оператора $P(x,D)$ в произведение операторов главного типа. Если ищем разложение вида $P=P_1\circ P_2$, то для того, чтобы найти символ Вейля $\sigma_{\omega}(P_i)$ оператора $P_i$, надо взять символ Вейля $\sigma_{\omega}(P)$ оператора $P$ и разложить его на множители $\sigma_{\omega}(P)=\widetilde P_1\cdot\widetilde P_2$, тогда $\sigma_{\omega}(P_i)=\widetilde P_i+O(1)$, $i=1,2$.
Если ищем разложение вида $P=P_1\circ P_2\circ P_3$, то надо разлагать на множители не символ Вейля оператора $P$, а некоторую другую функцию. Найдено явное выражение для этой функции, которая нелинейно зависит от оператора $P$ и есть рациональная функция от $\sigma_{\omega}(P)$ и его производных.