Осреднение краевых задач в области, содержащей тонкую полость с периодически изменяющимся сечением

Рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в трехмерной области с тонкой полостью $\omega_{\varepsilon}$. Сечения множества $\omega_{\varepsilon}$ плоскостями, перпендикулярными ее “оси” $\rm M$, имеют малые диаметры порядков $O(\varepsilon)$ и гладко, $2\pi$-периодически зависят от переменных $s$ и $\varepsilon^{-1}s$ $([0,2\pi)\ni s$ – длина дуги на $\rm M)$. Найдены первые члены асимптотики при $\varepsilon\to 0$ решений указанных задач. Как следствие получены асимптотические представления для гармонической емкости и тензоров поляризации и присоединенной массы тонкого тороидального множества $\omega_\varepsilon$ с быстроосциллирующей границей.