Асимптотика собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в трёхмерной области с тонкой замкнутой трубкой

Построены и обоснованы асимптотические представления собственных чисел и функций краевых задач для оператора Лапласа в трёхмерной области $\Omega(\varepsilon)=\Omega\setminus\overline{\Gamma}_\varepsilon$ с тонким сингулярным множеством $\Gamma_\varepsilon$, лежащим в $c\varepsilon$-окрестности простого гладкого замкнутого контура $\Gamma$. Рассмотрены задача Дирихле, смешанная краевая задача с условиями Неймана на $\partial\Gamma_\varepsilon$, а также спектральная задача с концентрированными массами на $\Gamma_\varepsilon$. Асимптотические представление имеют разный характер: найдены асимптотические ряды по степеням параметра $|\ln\varepsilon|^{-1}$ или $\varepsilon$. Наиболее полный и сложный анализ представлен для задачи о концентрации масс, а именно, просуммирован ряд по степеням $|\ln\varepsilon|^{-1}$ и получено асимптотическое разложение со старшим членом, голоморфно зависящим от $|\ln\varepsilon|^{-1}$, и остатком $O(\varepsilon^\delta)$, $\delta\in(0, 1)$. В асимптотических формулах главенствующую роль играют решения задачи Дирихле в области $\Omega\setminus\Gamma$ с логарифмическими сингулярностями, распределёнными вдоль контура $\Gamma$.
Библиография: 62 названия.