Об асимптотических формулах в некоторых вопросах теории сумм произведений

В работе получен ряд асимптотических формул, связанных с феноменом сумм произведений над простым полем $\mathbb{F}_p$. В доказательствах используются обычные теоремы об инциденциях в $\mathbb{F}_p$, а также результат о росте в группе $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p$), принадлежащий Хельфготту. Перечислим некоторые из наших результатов:

• новая оценка для числа решений уравнения $(a_1-a_2)(a_3-a_4)=(a_1'-a_2')(a_3'-a_4')$, $a_i,~a_i'\in A$, $A$ — произвольное подмножество $\mathbb{F}_p$;
• новая эффективная оценка для мультилинейных тригонометрических сумм Бургана;
• асимптотический аналог теоремы о разложимости Балога–Вули;
• нижние оценки на мощность множеств вида $\{p_1(b)+1/(a+p_2(b))\}$, где $a,~b$ пробегают два подмножества $\mathbb{F}_p$, а $p_1, p_2\in \mathbb{F}_p[x]$ — два непостоянных многочлена;
• новые оценки для тригонометрических сумм с мультипликативными и аддитивными характерами.

Библиография: 60 названий.