Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками

В работе обсуждается гипотеза А. Т. Фоменко о реализации интегрируемыми бильярдами топологии слоений Лиувилля гладких и аналитических интегрируемых гамильтоновых систем. Изложен алгоритм Ведюшкиной–Харчевой реализации бильярдными книжками 3-атомов, значительно упростившийся благодаря его формулировке в терминах $f$-графов. Отметим, что произвольный тип базы слоения Лиувилля на всей изоэнергетической 3-поверхности был также реализован В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой с помощью другого алгоритма. В работе он наглядно проиллюстрирован на примере реализации инварианта известной интегрируемой системы Жуковского (случай Эйлера с гиростатом) в определенной зоне энергии. Как оказалось, при этом было реализовано и само слоение Лиувилля, а не только класс его базы, т. е. получена лиувиллева эквивалентность бильярдной и механической систем. Затем изложены результаты В. В. Ведюшкиной и В. А. Кибкало по построению бильярдов с произвольными числовыми инвариантами. Далее для бильярдных книжек без потенциала с определенным свойством доказано существование инварианта Фоменко–Цишанга и их принадлежность к классу топологически устойчивых систем. В конце приведен пример, когда добавление потенциала Гука к плоскому бильярду порождает расщепляющуюся невырожденную 4-особенность ранга 1.