Простые геометрические факты, помогающие решить задачу по геометрии

В годы работы в школе, особенно в 80-х, 90-х годах журнал “Математика в школе” был основным помощником, источником интересных материалов для учителей математики. Сейчас, с развитием интернета ситуация немножко другая. В указанных годах автор статьи, работая в школе, активно участвовал в конкурсе по решению задач на страницах этого журнала. Участие в конкурсе помогало обучению одаренных детей, подготовке олимпиадников, подготовке выпускников к поступлению в престижные высшие учебные заведения страны. Все приведенные ниже решения — это незначительно отредактированные решения, в свое время отправленные автором в редакцию журнала.
Одним из важных моментов при решении олимпиадной задачи по геометрии является момент осознания идеи задачи, геометрического факта, вокруг которой, как на каркасе, построена эта задача. Если решатель увидел эту идею, можно считать, что половина дела сделана. Эта идея может быть и отличной от первоначальной идеи автора задачи. Главное то, что она приведет вас к успеху. Поэтому в начале решения каждой задачи указан простой и вполне очевидный геометрический факт или прием, который помогает решить эту задачу. Если требуется, приведенное утверждение легко доказать. Но мы будем опираться на эти утверждения без доказательств.
Так как все примеры взяты из раздела “Задачи” журнала “Математика в школе”, в начале каждого примера мы указываем номер задачи, номер и год выпуска журнала и автора задачи (если таковой указан). Примеры разбиты по тематике.