RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Математическое просвещение // Архив

Матем. просв., сер. 3, 2022, выпуск 29, страницы 244–254 (Mi mp1052)

По мотивам задачника

Структурированное доказательство теоремы Колмогорова о суперпозициях

С. В. Дженжерa, А. Б. Скопенковab

a МФТИ
b НМУ

Аннотация: Мы представляем хорошо структурированное детальное изложение известного доказательства важного результата, являющегося решением 13-й проблемы Гильберта о суперпозициях. Для функций двух переменных он формулируется так.
Теорема Колмогорова. Существуют непрерывные функции
$$ \varphi_1,\dots,\varphi_5: [0,1]\to [0,1] $$
такие, что для любой непрерывной функции $f:[0,1]^2\to\mathbb{R}$ существует непрерывная функция $h:[0,3]\to\mathbb{R}$ такая, что для любых $x, y \in [0, 1]$
$$ f(x,y)=\sum_{k=1}^5h(\varphi_k(x)+\sqrt{2}\varphi_k(y)). $$
Доказательство доступно неспециалистам, в частности, студентам, знакомым только с основными свойствами непрерывных функций.



© МИАН, 2024