О реализации расстояний

Если подмножество $A$ некоторой абелевой группы достаточно большое, то часто можно утверждать, что разностное подмножество $A-A$ “еще больше” – в том смысле. что удовлетворяет куда более сильным требованиям, чем $A$. Известно утверждение такого рода – теорема Штейнгауза: если множество $A\subset\mathbb Z^d$ имеет положительную меру Лебега, то $A-A$ имеет 0 внутренней точкой. Мы поговорим об обобщениях этой теоремы в различных направлениях.