Бильярдные шары вычисляют $\pi$

Подсчёт числа соударений в простой динамической системе с двумя бильярдными шарами позволяет вычислить число $\pi$ с любой заданной точностью. Описание этой изобретённой автором системы приводилось в его заметке "Бильярдная динамическая система для числа $\pi$" [3]. В настоящей статье приводится доказательство этого утверждения и обсуждается "тонкая структура" числа $\pi$.