Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел

Речь в этой статье пойдёт о вычислении суммы $1^k+2^k+\dots+n^k$. Обсудив, как найти формулу для любого конкретного $k$, мы попробуем по нескольким первым формулам угадать, какого рода должен быть общий ответ. После этого мы увидим, как различные точки зрения на нашу задачу — аналитическая, геометрическая, алгебраическая — объясняют различные замеченные закономерности. Будет получен и явный общий ответ в терминах чисел Бернулли (вместе с рецептом вычисления этих чисел). Частично текст основан на лекциях автора в летнем лагере московской 57-й школы в 2016 году.