$(q_1,q_2)$-Квазиметрики, билипшицево эквивалентные $1$-квазиметрикам

В работе доказывается, что условия $(q_1,1)$- и $(1,q_2)$-квазиметричности функции расстояния $\rho$ являются достаточными для существования $1$-квазиметрики, билипшицево эквивалентной $\rho$. Откуда следует, что Box-квазиметрика, определяемая при помощи базисных векторных полей класса $C^1$, коммутаторы которых самое большее складывают их степени, билипшицево эквивалентна некоторой метрике. С другой стороны, показывается что необходимыми эти условия не являются. Доказывается существование $(q_1,q_2)$-квазиметрик, для которых не существует $1$-квазиметрик, липшицево им эквивалентных, откуда, в частности, вытекает другое доказательство одного результата В. Шредера.