О сгруппированных степенных рядах

Пусть множество $E$ удовлетворяет условиям: 1) $E=\bigcup\limits_{k=1}^\infty F_k$, $\forall k F_k\subset F_{k+1}$, $F_k$ — ограниченное замкнутое множество, $c(F_k)\to\infty$, $k\to\infty$, где $c(F_k)$ — емкость множества; 2) существует последовательность $\{R_\nu\}_{\nu=1}^\infty$, $0<R_\nu\uparrow\infty$, и существует ряд $\sum_{\nu=1}^\infty a_\nu^{-1}$, $\forall \nu 0<a_\nu$ такие, что выполняется равенство $\lim\limits_{\nu\to\infty}R_\nu^{-1/\alpha}(R_\nu c_\nu^{-1})^{a_\nu}=0$, $c_\nu=c(E_\nu)$, $E_\nu=E\cap\{|z|\leqslant R_\nu\}$.
Если члены ряда $\sum_{n=1}^\infty z^{\lambda_n}P_{k_n}(z)$, $\forall n \lambda_n, k_n\subset\mathbf{N}$, $\lambda_n+k_n<\lambda_{n+1}+k_{n+1}$, для которого $\alpha=\varlimsup\limits_{n\to\infty}\lambda_n^{-1}k_n<\infty$, в каждой точке множества $E$ удовлетворяют неравенству $\varlimsup\limits_{n\to\infty}|z^{\lambda_n}P_{k_n}(z)|^{1/k_n}\leqslant1$, то ряд сходится компактно равномерно в $\mathbf{C}^1$, в частности, сумма ряда есть целая функция. Библ. 7 назв.