Эта публикация цитируется в
7 статьях
Предельные ультрасферические ряды и их аппроксимативные свойства
И. И. Шарапудинов Дагестанский научный центр РАН, г. Махачкала
Аннотация:
В статье рассмотрены новые ряды вида
$\sum_{k=0}^\infty f_k^{-1} \widehat P_k^{-1}(x)$, в которых общий член
$f_k^{-1}\widehat P_k^{-1}(x)$,
$k=0,1,\dots$, получен в результате предельного перехода при
$\alpha\to-1$ из общего члена $\widehat f_k^\alpha \widehat P_k^{\alpha,\alpha}(x)$ ряда Фурье $\sum_{k=0}^\infty f_k^\alpha \widehat P_k^{\alpha,\alpha}(x)$ по ультрасферическим полиномам Якоби
$\widehat P_k^{\alpha,\alpha}(x)$, образующим при
$\alpha>-1$ ортонормированную систему с весом
$(1-x^2)^\alpha$ на
$[-1,1]$. Исследованы свойства частичных сумм $S_n^{-1}(f,x) =\sum_{k=0}^nf_k^{-1}\widehat P_k^{-1}(x)$ предельного ультрасферического ряда
$\sum_{k=0}^\infty f_k^{-1} \widehat P_k^{-1}(x)$. В частности, показано, что оператор
$S_n^{-1}(f)=S_n^{-1}(f,x)$ является проектором на подпространство алгебраических полиномов
$p_n=p_n(x)$ степени не выше
$n$, т.е.
$S_n(p_n)=p_n$; кроме того,
$S_n^{-1}(f,x)$ совпадает с
$f(x)$ в концевых точках
$\pm1$, т.е.
$S_n^{-1}(f,\pm1)=f(\pm1)$. Доказано, что функция Лебега
$\Lambda_n(x)$ частичных сумм
$S_n^{-1}(f,x)$ имеет порядок роста, равный
$O(\ln n)$, а точнее, доказано, что $\Lambda_n(x) \le c(1+\ln(1+n\sqrt{1-x^2}\mspace{2mu}))$,
$-1\le x\le 1$.
Библиография: 1 название.
УДК:
517.587 Поступило: 11.01.2012
DOI:
10.4213/mzm10292