О двумерных суммах и разностях

В данной статье рассказывается о некотором обобщении хорошо известной теоремы для множества $A \subseteq G$, где $G$ – любая абелева группа. Согласно этому классическому результату из $|A+A|< (3/2) |A|$ или $|A-A| < (3/2) |A|$ следует, что $A \subseteq H$, где $H$ – смежный класс по некоторой подгруппе $G$ и $|H| \le (3/2) |A|$.
Рассмотрим множества $A^2 \pm \Delta(A) \subseteq G^2$ – двумерные сумму и разность. Здесь $A^2 = A \times A$ – множество пар элементов из $A$, а $\Delta(A)$ – диагональное множество $\Delta(A) = \{(a, a) \in G \times G \mid a \in A\}$. Основной результат работы касается приведенных множеств и заключается в следующем. Если $|A^2 \pm \Delta(A)| < 7/4|A|^2$, то $A \subseteq H + x$ для некоторого $x \in G$ и подгруппы $H \subseteq G$, причем $|H| < 3/2 |A|$.
Библиография: 10 названий.