К теории $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

Пусть $\mathscr M$ – алгебра фон Неймана операторов в гильбертовом пространстве $\mathscr H$, $\tau$ – точный нормальный полуконечный след на $\mathscr M$, $L_1(\mathscr M,\tau)$ – банахово пространство $\tau$-интегрируемых операторов. Получены следующие результаты.
Если $X=X^*$, $Y=Y^*$ – $\tau$-измеримые операторы и $XY\in L_1(\mathscr M,\tau)$, то $YX\in L_1(\mathscr M,\tau)$ и $\tau(XY)=\tau(YX)\in\mathbb R$. В частности, если $X,Y\in\mathscr B(\mathscr H)^{\mathrm{sa}}$ и $XY\in\mathfrak S_1$, то $YX\in \mathfrak S_1$ и $\operatorname{tr}(XY) =\operatorname{tr}(YX)\in\mathbb R$. Если $X\in L_1(\mathscr M,\tau)$, то $\tau(X^*)=\overline{\tau(X)}$.
Пусть $A$ – $\tau$-измеримый оператор. Если оператор $A$ $\tau$-компактен и $V\in\mathscr M$ является сжатием, то из $V^*AV=A$ следует, что $VA=AV$. Имеем $A=A^2$ тогда и только тогда, когда $A=|A^*||A|$. Это представление является новым и для ограниченных идемпотентов в $\mathscr H$. Если $A=A^2\in L_1(\mathscr M,\tau)$, то $\tau(A)=\tau(\sqrt{|A|}\mspace{2mu}|A^*|\sqrt{|A|}\mspace{2mu}) \in\mathbb R^+$. Если $A=A^2$ и $A$ (или $A^*$) полу-гипонормален, то $A$ нормален; тем самым, $A$ является проектором. Если $A=A^3$ и $A$ гипонормален или когипонормален, то $A$ нормален; тем самым, $A=A^*\in\mathscr M$ и является разностью двух взаимно ортогональных проекторов $(A+A^2)/2$, $(A^2-A)/2$. Если $A,A^2\in L_1(\mathscr M,\tau)$ и $A=A^3$, то $\tau(A)\in\mathbb R$.
Библиография: 20 названий.