О некоторых свойствах частичной консервативности интуиционистской теории множеств с принципом DCS
А. Г. Владимиров Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Аннотация:
Рассматривается теория множеств Цермело–Френкеля с подлежащей
интуиционистской логикой (для краткости будем называть ее
интуиционистской теорией множеств Цермело–Френкеля) в двусортном
языке (где сорт
$0$ — для чисел, а сорт
$1$ — для множеств)
со схемой
Collection в качестве схемы аксиом подстановки
(теория
$ZFI2C$). Доказаны некоторые свойства частичной
консервативности интуиционистской теории множеств
Цермело–Френкеля с принципом двойного дополнения (
$DCS$)
относительно некоторого класса арифметических формул
(класса всех так называемых AEN-формул). А именно, пусть
$T$ – любая из теорий
$ZFI2C$ и
$ZFI2C+DCS$. Тогда:
- 1) теория $T+ECT$ консервативна над $T$ относительно
класса AEN-формул;
- 2) теория $T+ECT+M$ консервативна над $T+M^-$
относительно класса AEN-формул.
Здесь
$ECT$ – это расширенный тезис Черча,
$M$ – сильный
принцип Маркова, а
$M^-$ – слабый принцип Маркова.
Кроме того, доказаны следующие свойства частичной консервативности:
- 3) $T+ECT+M$ консервативна над $T+M^-$ относительно
класса негативных арифметических формул;
- 4) классическая теория $ZF2$ консервативна над $ZFI2C$
относительно класса негативных арифметических формул.
Библиография: 21 название.
Ключевые слова:
интуиционистская логика, аксиомы Цермело–Френкеля для теории
множеств, интуиционистская теория множеств Цермело–Френкеля,
метод рекурсивной реализуемости, свойства частичной консервативности.
УДК:
517 Поступило: 30.08.2016
Исправленный вариант: 13.01.2017
DOI:
10.4213/mzm10758