О свободных произведениях в многообразиях ассоциативных алгебр

Рассматриваются многообразия ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. Недавно А. Я. Белов доказал, что во всяком таком многообразии ряд Гильберта относительно свободной алгебры конечного ранга рационален. Между тем, в многообразии алгебр с нулевым умножением, многообразиях коммутативных алгебр и всех ассоциативных алгебр справедливо и более сильное утверждение. А именно, для этих многообразий хорошо известны формулы, рационально выражающие ряд Гильберта алгебры свободного произведения алгебр через ряды Гильберта сомножителей. В статье приводится система контрпримеров, показывающая, что в любом другом многообразии аналогичной формулы не существует, даже если один из двух сомножителей – свободная алгебра. Однако, если ограничиться классом градуированных $\operatorname{PI}$-алгебр, порожденных своими компонентами первой степени, то существует бесконечно много многообразий, для каждого из которых аналогичная формула имеет место.
Библиография: 3 названия.