Эта публикация цитируется в
2 статьях
Некоторые задачи, связанные с вполне монотонными
и положительно определенными функциями
В. П. Заставный Донецкий национальный университет
Аннотация:
В работе рассматривается несколько задач
для вполне монотонных функций (класс
${\mathcal{CM}}$) и
для функций, которые являются положительно определенными
на вещественном линейном пространстве
$E$ (класс
$\Phi(E)$).
В теореме 1 доказаны некоторые предположения Д. Моука,
связанные с вполне монотонностью функции
$x^{-\mu}(x^2+1)^{-\nu}$.
В теореме 2 доказано, что если функция
$f\in C^{\infty}{(0,+\infty)}$ и
$\delta\in{\mathbb{R}}$,
то
$$
f(x)-a^\delta f(a x)\in {\mathcal{CM}}\qquad \text{для всех}\quad a>1
$$
тогда и только тогда, когда
$$
-\delta f(x)-xf'(x)\in \mathcal{CM}.
$$
Аналогичный результат для функций из
$\Phi(E)$ получен
в теореме 9: если
$\varepsilon\in{\mathbb{R}}$, а функция
$h\colon [0,+\infty)\to\mathbb{R}$ непрерывна на
$[0,+\infty)$,
дифференцируема на интервале
$(0,+\infty)$ и
$xh'(x)\to 0$
при
${x\to+0}$, то
$$
h(\rho(u))-a^{-\varepsilon}h(a\rho(u))\in\Phi(E)\qquad \text{для всех}\quad a>1
$$
тогда и только тогда, когда
$$
\psi_{\varepsilon}(\rho(u))\in\Phi(E),
$$
где
$\psi_{\varepsilon}(x):=\varepsilon h(x)- xh'(x)$ при
$x>0$ и
$\psi_{\varepsilon}(0):=\varepsilon h(0)$. Здесь
$\rho$ –
неотрицательная, однородная функция на
$E$ и
$\rho(u)\not\equiv 0$.
Доказано (пример 6), что
- $e^{-\alpha\|u\|}(1-\beta\|u\|)\in\Phi(\mathbb{R}^m)$ тогда и
только тогда, когда $-\alpha\leqslant\beta\leqslant\alpha/m$;
- $e^{-\alpha\|u\|^2}(1-\beta\|u\|^2)\in\Phi({\mathbb{R}}^m)$
тогда и только тогда, когда $0\leqslant\beta\leqslant2\alpha/m$.
Здесь
$\|u\|$ – евклидова норма в
$\mathbb{R}^m$.
В теореме 11 рассмотрен случай
радиальных положительно определенных функций
$h_{\mu,\nu}$.
Библиография: 31 название.
Ключевые слова:
вполне монотонные функции, положительно определенные функции,
теорема Хаусдорфа–Бернштейна–Уиддера,
преобразование Фурье, теорема Бохнера–Хинчина.
УДК:
517.5+
519.213 Поступило: 10.07.2018
DOI:
10.4213/mzm12130