О степени гильбертовых полиномов производных функторов

Пусть $(R,\mathfrak m)$ – $d$-мерное локальное кольцо Коэна–Маколея, $I$ – $\mathfrak{m}$-примарный идеал и $J$ – минимальный идеал редукции для $I$. Если $M$ – максимальный $R$-модуль Коэна–Маколея, то для достаточно больших $n$ и $1\le i\le d$ длины модулей $\operatorname{Ext}^i_R(R/J,M/I^nM)$ и $\operatorname{Tor}_i^R(R/J,M/I^nM)$ – полиномы степени $d-1$. Кроме того, показано, что
$$ \operatorname{deg}\beta_i^R(M/I^nM) =\operatorname{deg}\mu^i_R(M/I^nM)=d-1, $$
где $\beta_i^R(\,\cdot\,)$ и $\mu^i_R(\,\cdot\,)$ – $i$-е число Бетти и $i$-е число Басса, соответственно.
Библиография: 14 названий.