Теорема типа Сильвестра–Галлаи для абелевых групп

Конечное подмножество $X$ абелевой группы $A$ по сложению называется множеством Сильвестра–Галлаи типа $m$, если $|X|\geqslant m$ и для любых различных $x_1,\dots,x_{m-1} \in X$ найдется элемент $x_m \in X \setminus \{x_1,\dots,x_{m-1}\}$ такой, что
$$ x_1+\dots+x_m=o_A, $$
где через $o_A$ обозначен нуль группы $A$. Мы опишем все множества Сильвестра–Галлаи типа $m$. В качестве следствия получим следующий результат: если $Y$ – конечное множество точек, лежащих на эллиптической кривой в $\mathbb P^2(\mathbb C)$, и
(A) для любых двух различных точек $x_1,x_2 \in Y$ найдется точка $x_3 \in Y \setminus \{x_1,x_2\}$, коллинеарная $x_1$ и $x_2$, то либо $Y$ – это конфигурация Гессе эллиптической кривой, либо $Y$ состоит из трех точек, лежащих на одной прямой;
(Б) для любых пяти различных точек $x_1,\dots,x_5 \in Y$ найдется точка $x_6 \in Y \setminus \{x_1,\dots,x_{5}\}$ такая, что $x_1,\dots,x_6$ лежат на одной конике, то $Y$ состоит из шести точек, лежащих на одной конике.
Библиография: 13 названий.