Характеризации $\sigma$-разрешимых конечных групп
В. Гоa,
Ч. Ванa,
И. Н. Сафоноваb,
А. Н. Скибаc a School of Science, Hainan University, Китай
b Белорусский государственный университет
c Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины, Республика Беларусь
Аннотация:
Все рассматриваемые в данной статье группы конечны и
$G$ всегда обозначает конечную группу;
$\sigma$ – некоторое разбиение множества
всех простых чисел
$\mathbb{P}$,
т.е.
$\sigma=\{\sigma_{i} \mid i \in I\}$,
где
$\mathbb{P}=\bigcup_{i \in I} \sigma_{i}$ и
$\sigma_{i} \cap \sigma_{j}=\varnothing$ для всех
$i \ne j$.
Группа
$G$ называется:
$\sigma$-
примарной,
если
$G$ является
$\sigma_{i}$-группой для некоторого
$i=i(G)$;
$\sigma$-
разрешимой, если каждый главный фактор
$G$
является
$\sigma$-примарным.
Множество подгрупп
$\mathcal{H}$ группы
$G$ называется
полным холловым $\sigma$-
множеством $G$,
если каждый элемент
$\ne 1$ множества
$\mathcal{H}$ является
холловой
$\sigma_{i}$-подгруппой
$G$ для некоторого
$i$
и
$\mathcal{H}$ содержит в точности одну холлову
$\sigma_{i}$-подгруппу группы
$G$ для всех
$i$ таких,
что
$\sigma_{i}\cap \pi(G)\ne \varnothing$.
Подгруппа
$A$ группы
$G$ называется
$K$-
$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальной в
$G$, если
$G$ содержит
ряд подгрупп
$A=A_{0} \leqslant A_{1} \leqslant\cdots\leqslant A_{t}=G$ такой,
что либо
$A_{i-1} \trianglelefteq A_{i}$, либо группа
$A_{i}/(A_{i-1})_{A_{i}}$ $\sigma$-разрешима
для всех
$i=1,\dots,t$.
Мы говорим, что подгруппа
$A$ группы
$G$ является
слабо
$K$-
$\mathfrak{S}_{\sigma}$-
субнормальной
в
$G$, если
$G$ содержит
$K$-
$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальные подгруппы
$S$ и
$T$ такие, что
$G=AT$ и
$A \cap T \leqslant S \leqslant A$.
В данной статье мы изучаем условия, при которых группа является
$\sigma$-разрешимой. В частности, мы доказываем,
что группа
$G$ является
$\sigma$-разрешимой тогда и только тогда,
когда выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:
(i)
$G$ имеет полное холлово
$\sigma$-множество
$\mathcal H$,
все элементы которого являются
слабо
$K$-
$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальными в
$G$;
(ii) в каждой максимальной цепи подгрупп
$\cdots < M_{3} < M_{2} < M_{1} < M_{0}=G$ группы
$G$
по крайней мере одна из подгрупп
$M_{3}$,
$M_{2}$, или
$M_{1}$
является слабо
$K$-
$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальной в
$G$.
Библиография: 32 названия.
Ключевые слова:
конечная группа, изоордная группа, $\sigma$-разрешимая группа,
$K$-$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальная подгруппа,
слабо $K$-$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальная подгруппа.
УДК:
512.542 Поступило: 21.09.2021
Исправленный вариант: 11.12.2021
DOI:
10.4213/mzm13301